Toán học

Công thức diện tích xung quanh & diện tích toàn phần hình trụ 2024

Không còn gì bất ngờ, khi ta thường xuyên bắt gặp các vật thể hình trụ trong cuộc sống. Bên cạnh đó, hình trụ còn là một trong những kiến thức toán học quan trọng. Vậy hình trụ là gì, công thức và cách tính diện tích xung quanh & diện tích toàn phần hình trụ ra sao? Hãy cùng INVERT tìm hiểu và giải đáp thắc mắc thông qua bài viết sau.

 

Mặt trụ tròn xoay là gì ? Mặt trụ là gì?

Định nghĩa mặt trụ tròn xoay: Trong mặt phẳng (P) cho 2 đường thẳng Δ và l song song với nhau, cách nhau 1 khoảng bằng r. Khi quay mặt phẳng (P) xung quanh Δ thì đường thẳng l sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay. Mặt trụ tròn xoay thường gọi tắt là mặt trụ. Đường thẳng Δ gọi là trục, đường thẳng l là đường sinh và r là bán kính của mặt trụ đó.

Mặt trụ là tập hợp tất cả những điểm cách đường thẳng Δ cố định một khoảng r không đổi.

Hình trụ là gì? Diện tích xung quanh & diện tích toàn phần hình trụ?

Hình trụ là 1 loại hình học không gian cơ bản, được giới hạn bởi mặt trụ và 2 đáy là 2 đường tròn bằng nhau. Khi quay hình chữ nhật 1 vòng quanh 1 cạnh cố định của hình chữ nhật đó sẽ tạo ra được hình trụ tròn xoay.

Diện tích xung quanh hình trụ chỉ gồm diện tích mặt xung quanh, bao quanh hình trụ và không gồm diện tích 2 đáy.

Diện tích toàn phần hình trụ được tính là độ lớn của toàn bộ không gian hình chiếm giữ, bao gồm cả diện tích xung quanh và diện tích 2 đáy tròn.

Giả sử hình chữ nhật có tên là ABCD, CD là 1 cạnh cố định, khi đó:

  • DA và CB quét nên 2 đáy của hình trụ, là 2 hình tròn bằng nhau và song song, tâm 2 đường tròn lần lượt là D và C.
  • Mặt xung quanh của hình trụ được quét nên bởi cạnh AB và mỗi vị trí của AB được gọi là 1 đường sinh.
  • Các đường sinh vuông góc với 2 mặt phẳng đáy (2 hình tròn).
  • Độ cao của hình trụ là độ dài của trục hình trụ (cạnh DC) hoặc độ đường sinh.

Hình trụ tròn là hình trụ có 2 đáy là hình tròn bằng nhau và song song với nhau.

Hình trụ tròn
Hình trụ tròn

Công thức tính diện tích xung quanh & diện tích toàn phần hình trụ

1. Công thức tính diện tích xung quanh hình trụ

Diện tích xung quanh hình trụ được tính bằng chu vi đường tròn đáy nhân với chiều cao.

Công thức:

S (xung quanh) = 2 x π x r x h

Trong đó:

  • r: bán kính hình trụ
  • h: chiều cao nối từ đáy tới đỉnh hình trụ
  • π = 3,14

2. Công thức tính diện tích toàn phần hình trụ

Diện tích toàn phần hình trụ được tính bằng diện tích xung quanh cộng với diện tích của 2 đáy

Công thức:

S (toàn phần) = 2 x π x r2 + 2 x π x r x h = 2 π x r x (r + h)

Trong đó:

  • r: bán kính hình trụ
  • 2 x π x r x h: diện tích xung quanh hình trụ
  • 2 x π x r2: diện tích của hai đáy

Công thức tính chiều cao hình trụ

Chiều cao hình trụ chính là khoảng cách giữa hai mặt đáy của hình trụ.

1. Tính chiều cao hình trụ khi biết diện tích toàn phần và bán kính đáy

Công thức:

Trong đó: 

  • Stp: Diện tích toàn phần của hình trụ
  • h: Chiều cao hình trụ
  • π = 3,14

2. Tính chiều cao hình trụ khi biết diện tích xung quanh

Công thức:

Trong đó:

  • Sxq: Diện tích xung quanh của hình trụ
  • r: bán kính hình trụ
  • π = 3,14

Công thức tính bán kính đáy của hình trụ

1. Công thức tính chu vi & diện tích hình tròn 

Đường tròn có chu vi C = 2πr

=> r = C/2π

Hình tròn đáy có diện tích S = πr2

Ví dụ. Tính bán kính đáy của hình trụ trong các trường hợp sau:

a. Chu vi đường tròn đáy là 6π

b. Diện tích đáy là 25π

Giải:

a. Bán kính đường tròn đáy là

r = C/2≈ = 6π/2π = 3

b. Bán kính đường tròn đáy là:

2. Công thức tính diện tích 2 đường tròn đáy

Công thức:

Trong đó:

  • S2đ: Diện tích 2 đường tròn đáy hình trụ
  • Sđ: Diện tích đường tròn đáy.
  • π = 3,14
  • r: Bán kính đường tròn đáy.

3. Đáy là đường tròn nội tiếp đa giác

Nội tiếp tam giác bất kì: R = S/p với S là diện tích tam giác và p là nửa chu vi

Nội tiếp tam giác đều: R = (Căn 3)/6

Nội tiếp hình vuông: R = Cạnh/2

Ví dụ 1. Cho hình trụ nội tiếp trong một hình lập phương có cạnh a. Tính bán kính của hình trụ đó.

Bán kính hình trụ là: R = a/2

Ví dụ 2. Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có , thể tích ngoại tiếp khối trụ. Tính bán kính khối trụ đó.

4. Đáy là đường tròn ngoại tiếp đa giác

Ví dụ: 

Tính bán kính đáy của khối trụ ngoại tiếp khối chóp đều S.ABC trong các trường hợp sau:

a. ABC là tam giác vuông tại A có AB = a và AC = a√3

b. ABC có AB= 5; AC= 7; BC=8

Giải:

Công thức tính diện tích thiết diện của hình trụ

Cắt hình trụ bởi mặt phẳng (P) qua trục

Cắt hình trụ bởi mặt phẳng (P) song song và cách trục một khoảng x

Cắt hình trụ bởi mặt phẳng (P) không vuông góc với trục nhưng cắt tất cả các đường sinh của hình trụ

Cắt hình trụ bởi mặt phẳng (P) không vuông góc với trục nhưng cắt tất cả các đường sinh của hình trụ.

Hướng dẫn cách tính diện tích xung quanh & diện tích toàn phần hình trụ

1. Tính diện tích của 2 hình tròn (2 x (π x r2))

Bước 1: Trước tiên, hình dung 2 mặt đáy của hình trụ

Hãy tưởng tượng một hình dạng có hình trụ. Khi đó, bạn sẽ thấy mặt trên và mặt dưới của nó là 2 hình tròn bằng nhau. Do vậy, đầu tiên bạn phải tìm diện tích của 2 hình tròn này mới có thể tính diện tích toàn phần của hình trụ.

Bước 2: Sau đó, bạn tìm bán kính hình trụ 

Bán kính được hiểu là khoảng cách từ tâm đường tròn đến 1 điểm trên đường tròn đó và được ký hiệu bằng chữ “r”. Ngoài ra, bán kính hình trụ cũng bằng bán kính của hình tròn đáy. 

  • Trong các bài toán đố, dữ kiện bán kính sẽ được đề cho sẵn. Nếu không bạn đề sẽ cho đường kính và bạn chỉ cần chia đôi để ra được bán kính. 
  • Trong trường hợp bạn đang tính diện tích toàn phần của một vật thật hình trụ, bạn cũng có thể dùng thước đo bán kính

Giả sử: Cho bán kính của hình tròn đáy là 3 cm.

Bước 3: Tiếp theo, tính diện tích cùa hình tròn bên trên 

Diện tích hình tròn sẽ bằng số pi (~3.14) nhân với bình phương bán kính của nó. Khi đó, diện tích cùa hình tròn là: π x r2 hay π x r x r.

Để tìm diện tích đáy hay diện tích hình tròn, bạn chỉ cần thay bán kính 3 cm vào công thức: A = πr2. Cách thực hiện như sau:

  • A = πr2
  • A = π x 32
  • A = π x 9 = 28,26 cm2

Bước 4: Kế đó, bạn thực hiện tương tự cho hình tròn ở đầu kia 

Sau khi đã tìm được diện tích của 1 đáy, bạn thực hiện tương tự với đáy thứ 2. Hoặc bạn cũng có thể áp dụng tính chất để nhận ra 2 đáy là như nhau nên bạn không cần phải tính nữa. 

2. Tính diện tích của mặt xung quanh (2π x r x h)

Bước 1: Đầu tiên, hình dung mặt xung quanh của hình trụ 

Muốn tính diện tích xung quanh hình trụ, bạn cũng phải tưởng tượng ra một vật hình trụ như hộp sữa bò thường hay sử dụng để nhận biết đáy trên và đáy dưới. Khi đó, bán kính của thành hộp sữa cũng là bán kính của đáy nhưng khác với đáy vì phần thành xung quanh còn có chiều cao.

Bước 2: Tiếp theo, tìm chu vi của hình tròn

Sau khi đã hình dung được mặt xung quanh của hình trụ bạn cần tìm chu vi mới có thể tìm diện tích của mặt xung quanh. Bạn tìm chu vi bằng cách nhân bán kính với 2π.

Theo như ví dụ trên: Chu vi hình trụ bằng: 2π. 3 cm x 2π = 18,84 cm.

Bước 3: Rồi bạn nhân chu vi của đường tròn với chiều cao hình trụ 

Tới đây, bạn tiếp tục lấy chu vi vừa tính được nhân với chiều cao để ra diên tích của mặt xung quanh.

Xét theo ví dụ: Hình trụ có chiều cao là (5 cm): 18,84 cm x 5 cm = 94,2 cm2.

3. Cộng hai kết quả với nhau ((2) x ( π x r2)) + (2π x r x h)

Bước 1: Trước hết, hình dung toàn bộ hình trụ

Trước khi bước vào tính toán, bạn cần tưởng tượng ra 2 đáy của hình trụ. Rồi tiếp tục nghĩ về mặt xung quanh nối 2 đáy của hình trụ. Sau đó, bạn mới nghĩ về toàn bộ hình trụ và tính diện tích toàn bộ bề mặt của nó.

Bước 2: Tiếp theo, bạn nhân đôi diện tích của 1 đáy 

Sau khi đã hình dung được hình trụ, bạn tiến hành nhân kết quả diện tích 1 đáy 28,26 cm2 với 2 để có diện tích của 2 đáy: 28.26 x 2 = 56.52 cm2

Bước 3: Cuối cùng, cộng diện tích của mặt xung quanh với diện tích đáy. 

Kết quả diện tích toàn phần của hình trụ sẽ được hiện ra khi bạn cộng diện tích của 2 đáy với diện tích mặt xung quanh. 

Lấy theo ví dụ trên: Diện tích toàn phần của hình trụ có chiều cao 5 cm và đáy hình tròn với bán kính 3 cm là: 56,52 cm2 + 94,2 cm2 = 150,72 cm2.

Một số bài tập tính diện tích xung quanh & diện tích toàn phần hình trụ

1. Bài tập tính diện tích xung quanh & diện tích toàn phần hình trụ có lời giải

Câu 1: Một hình trụ có chu vi đáy bằng 20 cm, diện tích xung quanh bằng 14 cm2. Tính chiều cao của hình trụ?

Giải: 

Diện tích xung quanh của hình trụ: Sxq = 2 x π x r x h = 20 x h = 14

→ h = 0,7 (cm)

Câu 2: Tính diện tích toàn phần của hình trụ, có độ dài đường tròn đáy là 10cm, khoảng cách giữa 2 đáy là 6cm.

Giải: 

Theo đề bài ta có: h = 6cm; 2r = 10cm => r = 5cm.

Áp dụng công thức tính diện tích toàn phần hình trụ:

Stp=2πr(r+h)=2π.5(5+6)=110π(cm2)Stp=2πr(r+h)=2π.5(5+6)=110π(cm2)

=> Vậy diện tích toàn phần của hình trụ là 110π(cm2)

Câu 3: Tính diện tích toàn phần của hình trụ có chiều cao là 7cm và diện tích xung quanh bằng 310 (cm2)

Giải: Theo đề bài ta có: h = 7, Sxq=310

Áp dụng công thức tính diện tích xung quanh Sxq = 2πrh

⇒ r= (Sxq) : 2πrh = 310 : 2π.7 ≈ 7cm 

Vậy Sđ = πr2 = π.72 = 49π ≈ 154cm2

Diện tích toàn phần của hình trụ: Stp = 2. Sđ + Sxq = 2.154 + 310 = 618cm2

Câu 4: Cho 1 hình trụ có bán kính đường tròn đáy là 4 cm, chiều cao nối từ đáy tới đỉnh hình trụ dày 6 cm. Hỏi diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ bằng bao nhiêu?

Giải: 

Diện tích xung quanh là Sxq = 2πrh = 2 x 3,14 x 4 x 6 = 151 cm² 

Diện tích toàn phần hình trụ là: Stp = 2TR x ( R + H ) = 2 x 3,14 x 4 x (4 + 8) = 301 cm².

Câu 5: Tính diện tích toàn phần của hình trụ, có độ dài đường tròn đáy là 10cm, khoảng cách giữa 2 đáy là 6cm.

Giải: Theo đề bài ta có : h = 6cm ; 2r = 10cm = > r = 5cm .

Diện tích toàn phần hình trụ : Stp = 2πr ( r + h ) = 2.5 ( 5 + 6 ) = 110 (cm²)

Kết luận: Diện tích toàn phần của hình trụ là 110r ( cm3 )

Câu 6: Một bóng đèn huỳnh quang dài 1,2m, đường kính của đường tròn đáy là 4cm , được đặt khít vào một ống giấy cứng dạng hình hộp (h.82). Tính diện tích phần giấy cứng dùng để làm một hộp.

Giải: Diện tích phần giấy cứng cần tính chính là diện tích xung quanh của một hình hộp có đáy là hình vuông cạnh 4cm , chiều cao 1,2m = 120cm .

Diện tích xung quanh của hình hộp chính là diện tích 4 hình chữ nhật bằng nhau với chiều dài là 120 cm và chiều rộng 4cm: Sxq = 4. 4. 120 = 1920 cm2

Câu 7: Một hình trụ có bán kính đáy là 7cm, diện tích xung quanh bằng 352cm2. Chiều cao của hình trụ là bao nhiêu?

Giải: 

Ta có: Sxq = 2πrh

⇒ h = Sxq : 2πr

Với S = 352 cm2, r = 7cm

⇒ h = 352 : 2π7 ≈ 8 (cm)

Câu 8: Chiều cao của một hình trụ bằng bán kính đường tròn đáy. Diện tích xung quanh của hình trụ 314 cm2. Hãy tính bán kính đường tròn đáy (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

Giải: 

Diện tích xung quanh hình trụ bằng 314cm2

⇔ 2.π.r.h = 314

Mà r = h

⇒ 2πr2= 314

⇒ r2 ≈ 50

⇒ r ≈ 7,07 (cm)

Câu 9: Một bóng đèn huỳnh quang dài 1,2m, đường kính của đường tròn đáy là 4cm, được đặt khít vào một ống giấy cứng dạng hình hộp (h.82). Tính diện tích phần giấy cứng dùng để làm một hộp (Hộp hở 2 đầu, không tính lề và mép dán).

Giải: Diện tích phần giấy cứng cần tính chính là diện tích xung quanh của một hình hộp có đáy là hình vuông cạnh 4cm, chiều cao 1,2m = 120cm.

Diện tích xung quanh của hình hộp chính là diện tích bốn hình chữ nhật bằng nhau với chiều dài là 120 cm và chiều rộng 4cm::

Sxq= 4.4.120 = 1920 cm2

Câu 10: Hãy tính diện tích xung quanh của một hình trụ có chu vi hình tròn đáy là 13cm và chiều cao là 3cm.

Giải: 

Ta có : C = 13cm, h = 3cm

Diện tích xung quanh của hình trụ là :

Sxq = 2πr.h = C.h = 13.3 = 39 (cm2)

2. Bài tập tính diện tích xung quanh & diện tích toàn phần hình trụ không có lời giải

Câu 1: Cho hình trụ có chu vi đáy là 8π và chiều cao h = 10. Tính diện tích xung quanh & diện tích toàn phần hình trụ?

Câu 2: Cho hình trụ có bán kính đáy R = 4 (cm) và chiều cao h = 5 (cm). Diện tích xung quanh của hình trụ là bao nhiêu?

Câu 3: Cho hình trụ có bán kính đáy R = 8cm và diện tích toàn phần 564π cm2. Tính chiều cao của hình trụ:

Câu 4: Hộp sữa Ông Thọ có dạng hình trụ (đã bỏ nắp) có chiều cao h = 12cm và đường kính đáy h = 8cm. Tính diện tích toàn phần của hộp sữa. Lấy π ≃ 3,14

Câu 5: Một hình trụ có bán kính đáy R = 2cm và diện tích xunh quanh là Sxq = 100π . Tính diện tích toàn phần của hình trụ?

Câu 6: Tính diện tích xung quanh của một hình trụ có chu vi đường tròn đáy là 4π và chiều cao h =2.

Câu 7: Cho hình trụ có bán kính đáy R = 12 cm và diện tích toàn phần 672π cm2. Tính chiều cao của hình trụ

Câu 8: Diện tích và chu vi của một hình chữ nhật ABCD (AB > AD) theo thứ tự là 2a2 và 6a.Cho hình chữ nhật quay quanh cạnh AB một vòng ta được một hình trụ. Tính diện tích xung quanh của một hình trụ này

Câu 9: Mô hình của một cái lọ thí nghiệm dạng hình trụ (không nắp) có bán kính đường tròn đáy 14cm, chiều cao 10cm. Diện tích xung quanh cộng với diện tích một đáy bằng bao nhiêu?

Câu 10: Diện tích xung quanh của một hình trụ là 10m2 và diện tích toàn phần của nó là 14m2. Hãy tính bán kính của đường tròn đáy và chiều cao của hình trụ (lấy π =3,14, làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ 2)

Trên đây là công thức diện tích xung quanh & diện tích toàn phần hình trụ mà đội ngũ INVERT chúng tôi đã tổng hợp được. Mong rằng thông qua bài viết này các bạn hoàn toàn có thể tính được diện tích xung quanh & diện tích toàn phần hình trụ một cách dễ dàng.

Còn bao nhiêu ngày nữa đến Tết Giáp Thìn 2024? Đếm ngược Tết 2024

Nguồn: Invert.vn

Tags: công thức diện tích toàn phần hình trụdiện tích xung quanh của hình trụdiện tích xung quanh hình tròn
Đồng Phục Trang Anh

Gửi bình luận của bạn

(*) yêu cầu nhập

Nội dung bình luận (*)
Họ tên
Email
CÙNG CHUYÊN MỤC

Bảng giá vàng PNJ SJC 9999 24K 18K 14K 10K Hôm nay

1 Tháng Ba, 2024 72

Cập nhật bảng giá vàng hôm nay gồm tất cả các loại vàng như PNJ SJC 9999 24K 18K 14K 10K mới nhất ở TPHCM, Hà Nội, Đà Nẵng và 63 tỉnh thành chính xác.., giúp bạn tra cứu dễ dàng và nhanh chóng.

Cho ACC Liên Quân 0đ full tướng Free, tặng Nick VIP miễn phí (03/2024)

22 Tháng Hai, 2024 806

Liên Quân Mobile là một trong những trò chơi hiện nay được nhiều game thủ yêu thích. Do đó, đừng bỏ lỡ cơ hội sở hữu những acc 0đ của trò chơi này, ngay trong bài viết sau của INVERT.

Cho Acc Free Fire Miễn Phí - Tặng ACC FF Free VIP Mới (03/2024)

1 Tháng Hai, 2024 963

Free Fire là một trong những game sinh tồn đứng vị trí TOP 1 hiện tại. Chính vì vậy, số lượng người mong đợi sự kiện cho acc ff miễn phí tăng lên đáng kể để có trải nghiệm mượt mà hơn. 

Đáp án Heo Đi Học MoMo hôm nay vừa cập nhật sáng nay

1 Tháng Ba, 2024 0

Đáp án momo hay đáp án cho Heo đi thi là một trong những từ khoá được mọi người đặc biệt tìm kiếm khi tham gia trò chơi trên ví điện tử Momo. Chương trình này cũng đang được cải tạo, chuyển đổi để trở thành chuyên mục Trường học Heo đất.

Cắt tóc ngày nào tốt? Lịch cắt tóc tháng 02/2024 Dương Lịch Chính Xác

1 Tháng Hai, 2024 3

Ông bà ta từ xưa đã lưu truyền lại câu nói “Cái răng cái tóc là góc con người”, ý chỉ tuy rằng cái tóc, chiếc răng tuy nhỏ bé nhưng nó cũng góp phần vào vẻ đẹp của một người.

Code Huyền Thoại Hải Tặc (HTHT) đại chiến Miễn phí Mới Nhất (03/2024)

1 Tháng Hai, 2024 0

Game Huyền Thoại Hải Tặc là một trong những tựa game vô cùng hấp dẫn được chuyển thể từ tác phẩm truyện tranh manga One piece nổi tiếng của Nhật Bản. Tựa game này thường xuyên cập nhật các mã code với nhiều quà tặng hấp dẫn để nhằm mang đến cho người chơi một trải nghiệm game ...

Dự Án Tại Bình Dương